Concetti di lavoro

Pitagora e i suoi discepoli stabilirono tre tipi principali di proporzione:
- la proporzione aritmetica c-b=b-a (es: 1, 2, 3),;
- la proporzione geometrica a/b=b/c (es: 1, 2, 4),;
- la proporzione armonica (b-a)/a=(c-b)/c (es: 2, 3, 6),.

A queste tre proporzioni corrispondono, rispettivamente, la medietà (o media) aritmetica b=(a+c)/2, la medietà geometrica b=÷ac, e la medietà armonica b=2ac/(a+c). Questa interpretazione trovava delle incoraggianti conferme nello studio della musica; infatti considerando i due toni che definiscono l'intervallo di ottava (do grave e do acuto) come termini estremi a e c di una proporzione, risulta che, essendo essi in rapporto di 1/2, la loro media aritmetica è b = (2+1)/2 = 3/2 mentre la loro media armonica è b = 2(2¥ 1)/(2+1) = 4/3.
L'intervallo di quinta è quindi la media aritmetica tra due toni distanti di un’ottava, mentre quello di quarta ne è la media armonica. Quanto alla proporzione geometrica, essa mette in relazione le due medie, essendo 2 : 4/3 = 3/2 : 1.

Premesse fisiche
E’ bene sottolineare quali sono le premesse fisiche per cui si passa dalla produzione di suoni alla rete di numeri interi.
La prima osservazione è che a ciascuna nota corrisponde una determinata frequenza proporzionata alla sua altezza;se andiamo a misurare l’ intervallo, ossia la distanza fra due note, calcolando il rapporto fra le loro frequenze, ci accorgiamo che questo rapporto è sempre lo stesso per coppie di suoni alla stessa distanza nella scala musicale.
All’intervallo di ottava corrisponde ad esempio il rapporto 2, alla quinta il rapporto 3/2 e così via.

Rapporti tra intervalli e frequenze nella scala musicale.
Lo stesso principio è stato osservato da Pitagora, il quale si rese conto che faendo vibrare una corda tesa tra due estremi è possibile udire assieme ad essa una serie di suoni (le armoniche) che formano con la nota fondamentale accordi piacevoli all’orecchio. E’ possibile ricercare questi suoni intercettando la corda in diversi punti lungo la sua lunghezza: se la intercettiamo a metà otteniamo l’ottava, a 2/3 la quinta, a 3/4 la quarta e così via)

Rapporti tra suoni, frequenze, lunghezza di una corda vibrante.
Da questo studio Pitagora ricavò la lambda, triangolo formato da numeri doppi e tripli con cui è possibile ricavare tutte le armonie musicali.
Dovunque quindi si incontrino rapporti della serie 6,8,12,16,18,24...si può supporre che ci sia il preciso intento di emulare le proporzioni musicali.
L’individuazione di questi criteri è spesso difficile e non attribuibile con certezza ad una consapevole volontà del progettista, è bene tenere presente che per fare questo tipo di analisi è fondamentale “tradurre” le misure riscontrate negli edifici secondo le unità di misura del tempo.

Osservazione
Il connubio tra scultura e musica costituito dal principio dei numeri piccoli si realizza sul piano puramente logico-razionale, gli scultori attingono alla musica come fonte di intervalli matematici e non come sorgente di sonorità piacevoli all’orecchio.
Non è affatto rilevante come questi intervalli si compongano tra loro a produrre armonie musicali, poichè gli artisti non intendevano tradurre la musica in scultura, anzi spesso i numeri interi che generano la rete modulare darebbero luogo in musica a delle dissonanze.
Si prendano ad esempio le progressioni Albertiane 4:6:9 e 9:12:16, la prima è una sequenza di due quinte (es. do-sol-re), la seconda di due quarte (es.do-fa-si), ossia sono dal punto di vista musicale delle dissonanze.